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连载漫画:有趣的水手其他问题 (完整视频)




—————  第二天  —————


海盗分金币问题:有5个海盗,获得了100枚金币,于是他们要商量一个方法来分配金币。商议方式如下:1. 由5个海盗轮流提出分配方案。2. 如果超过半数海盗(包括提出者)同意该方案,则按照该方案分配。3. 如果同意该方案的人数(包括提出者)小于等于半数,则提出者要被扔到海里喂鱼,剩下的海盗继续商议分配。4. 海盗们都是绝对理性的,以自己尽可能多获得金币为目的。但是在收益相等的情况下,会倾向把提出者扔到海里。问:第一个海盗应该提出怎样的分配方案,才能保证自己既不被扔到海里,又能使自己利益最大化?
举一个栗子:此时第一个海盗来提议分配方案,他说:我要100枚金币,你们其他人一个金币也没有!显然,其他小伙伴一致反对,结果第一个提出者被扔到了海里。接下来轮到第二个海盗提出分配方案,他说:我只要1个金币,剩下3个小伙伴每人33个金币!第三个海盗反对,剩下两个小伙伴同意,同意者超过了半数(4 : 1),于是按照这个方法执行了分配。————————————如何利用递归思想来简化问题呢?让我们来详细分析一下,后文把五个海盗简称为老一、老二、老三、老四、老五。老一在提出分配方案的时候,不妨这样思考:如果我被扔到海里了,剩下4个海盗,此时老二的最优分配方案是什么呢?我只要在老二的分配方案上稍微增加一点,就能赢得更多的支持。老二在提出分配方案的时候,也会这样思考:如果我被扔到海里了,剩下3个海盗,此时老三的最优分配方案是什么呢?我只要在老三的分配方案上稍微增加一点,就能赢得更多的支持。老三在提出分配方案的时候,还是会这样思考:如果我被扔到海里了,剩下2个海盗,此时老四的最优分配方案是什么呢?我只要在老四的分配方案上稍微增加一点,就能赢得更多的支持。整个递归过程,就像下图一样:这个递归过程到什么时候截止呢?剩下两个人为止。想想看,当剩下两个人的时候,是什么情形?此时老四没有任何选择!无论他如何分配,哪怕把100枚金币都给老五,老五仍然可以反对,导致老四被扔到海里,金币全归老五所有。由此,老三心想:老四没有最优决策,所以无论我提出什么要求,老四都一定会同意,而老五一定不同意。由于只要超过半数同意就可以执行分配,所以老三的最优策略如下:
接下来,老二暗自寻思:如果没有我,老三能获得100枚金币,所以无论如何不会同意我。但我可以设法“笼络”老四和老五,形成 3 : 1 的局面。在老三的“淫威”下,他们原本一个金币都得不到。我给他们一人一枚金币,好过由老三来分配,所以他们肯定会同意。因此,老二的最优策略如下:终于轮到老一了,老一心里琢磨:如果没有我,老二能获得98枚金币,我总不能分给他多于98枚,索性放弃他,只要剩下三人中笼络到两人,形成 3 : 2 的局面即可。要笼络谁呢?以老二的策略,老三得不到金币,所以老三最好“伺候”。我给老三1枚,老三一定同意。至于老四和老五,本来可以得到1枚,所以我必须比老二给的多,才能赢得支持。但我又没必要同时笼络他俩,要么给老四两枚金币,放弃老五,要么给老五两枚金币,放弃老四。
因此,老一的最优策略如下:



由于海盗数目增加到7人,原本的老大顺延成为老三,原本的老二顺延成为老四......大家注意这里不要混淆。


如何把两种分配结果进行聚合呢?


在剩余5个海盗的情况下,要么老六得到两枚金币,老七没有金币;要么老六没有金币,老七得到两枚金币。从概率学的角度来分析,这两种情况发生的几率各占50%,所以老六和老七的平均收益都是1枚金币。

这样一来,老二就变得容易分析了。老二想要形成 4:2 的局面,他该怎么分配呢?如果没有自己,老三可以得到97枚,所以老三直接放弃掉。剩余5个海盗时,老四得不到金币,所以给老四一枚就可以拉拢,很好伺候。剩余5个海盗时,老五、老六、老七的平均收益都是1枚,但我们只要拉拢其中两人就行。所以其中一人没有金币,另外两人各自给两枚。这样就形成了一个排列组合:2, 2, 02, 0, 20, 2, 2因此,老二自己保留的金币数量是 100 - 2 - 2 - 1 = 95。完整的分配方案有3种,如下图所示:

接下来,为了分析老大的策略,我们仍然需要把上面三种情况聚合一下。对于老五、老六、老七,他们各自有三分之二的几率得到两枚金币,有三分之一的几率得不到金币。所以他们的收益平均值是 2 * 2/3 = 1.33 枚金币。

这样一来,老大也变得容易分析了。老大想要形成 4:3 的局面,他该怎么分配呢?如果没有自己,老二可以得到95枚,所以老二直接放弃掉。剩余6个海盗时,老三得不到金币,所以给老三一枚就可以拉拢,很好伺候。剩余6个海盗时,老四的收益是1枚,老五、老六、老七的平均收益是1.33枚,但无论1枚还是1.33枚,给他们两枚金币都是可以拉拢的。我们只要拉拢其中两人就行,所以其中两人没有金币,另外两人各自给两枚。这样又形成了一个排列组合:2, 2, 0, 02, 0, 2, 02, 0, 0, 20, 2, 2, 00, 2, 0, 20, 0, 2, 2因此,老一自己保留的金币数量是 100 - 2 - 2 - 1 = 95。完整的分配方案有6种,比较复杂,这里就不用图片表示了,直接列出表格:
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第五章 面试中的算法介绍了10余道职场上流行的算法面试题及详细的解题思路。例如怎样判断链表有环、怎样计算大整数相加等。第六章 算法的实际应用介绍了算法在职场上的一些应用,例如使用LRU算法来淘汰冷数据,使用Bitmap算法来统计用户特征等。本书是全彩印制,书中的每一章、每一节、每一句话、每一幅图、每一行代码,都经过了小灰和编辑们的精心打磨,力求用最为直白的方式把知识讲明白、讲透彻。

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